Editado por: Tecnológico Superior
Corporativo Edwards Deming
Enero - Marzo Vol. 6 - 1 - 2022
https://revista-edwardsdeming.com/index.php/es
e-ISSN: 2576-0971
Recibido: 04 octubre 2021
Aprobado: 02 diciembre, 2021
Pag 117-138
Desarrollo de trinomios con el triángulo de pascal
modificado
Development of trinomia with the modified pascal triangle
José Luis Hidalgo Torres
*
RESUMEN
Con este artículo lo que se pretende principalmente es dar
una propuesta de solución a desarrollos de trinomios
elevados a potencias enteras positivas, para lo cual se
empieza dando una interpretación a vagos indicios de la
información recobrada en medios informáticos y que
mediante los métodos de inducción y descripción en un
proceso algebraico se van construyendo los elementos
constitutivos de una estructura, a la que le he llamado el
Triángulo de Pascal Modificado, técnica similar en el uso a
cómo se utiliza el Triángulo de Pascal clásico. Y menciono
algunas propiedades interesantes del Triángulo de Pascal,
para recuperarles del olvido, propiedades que se utilizan
en algunos campos de las matemáticas. Esta propuesta
además de resolver trinomios elevados a potencias enteras
positivas, que de por sí es importante para suavizar algunos
casos en el cálculo; será la base para la generación de
nuevas series algebraicas que servirán de modelos
matemáticos.
Palabras clave: Propuesta, propiedades, indicios,
inducción, proceso, series.
* Máster, Instituto Tecnológico Edwards Deming, Quito, Ecuador,
jlhidalgot@hotmail.com, ORCID: 0000-0003-1285-0283
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ABSTRACT
With this article, what is mainly intended is to give a solution proposal to
developments of trinomials elevated to positive integer powers, for which we
begin by giving an interpretation to vague indications of the information recovered
in computer media and that through the mechanisms of induction and deduction
in an algebraic process, the constitutive elements of a structure are built, which I
have called the Modified Pascal's Triangle, a technique similar in use to how the
classic Pascal's Triangle is used. And I mention some interesting properties of
Pascal's Triangle, to recover from oblivion, properties that are used in some fields
of mathematics. This proposal in addition to solving trinomials raised to positive
integer powers, which in itself is important to smooth some cases in the
calculation; it will be the basis for the generation of new algebraic series that will
serve as mathematical models.
Key words: Proposal, properties, indications, induction, process, series
INTRODUCCIÓN
Las matemáticas están compuestas por expresiones, que en el transcurso de los
tiempos se les ha llamado modelos matemáticos, unos muy simples y otros
complejos. El Triángulo de Pascal es un modelo y una técnica matemática que sirve
para resolver expresiones de la forma (a + b)n; a, b términos algebraicos, n ≥ 0, n
entero.
En el presente artículo, salvando del olvido, inicialmente se da a conocer a la
comunidad docente y estudiantil algunas de las múltiples propiedades, unas
conocidas y otras desconocidas que tiene el Triángulo de Pascal y por la
importancia de su aplicación en varios aspectos académicos y de uso en la vida
cotidiana.
En una segunda parte y la más fundamental, se propone una técnica que sirve para
resolver expresiones de la forma (a + b + c)n; a, b, c términos algebraicos, n ≥ 0,
n entero; utilizando los procesos de inducción y descripción, se van desarrollando
trinomios elevados a potencias enteras positivas, para ir estructurando los
componentes o elementos algébricos generales, que son consecuencia de los
resultados de la inducción aplicada.
Como es de conocimiento matemático académico, desde una simple igualdad, se
la considera un modelo matemático; por lo tanto, su aplicación podría servir para
generar patrones de regresión o modelos de comportamiento o tendencia,
aplicados a distintos campos de las ciencias.
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MATERIALES Y MÉTODOS
Para la construcción del diseño y obtención de los elementos algébricos constitutivos
de la estructura del Triángulo de Pascal Modificado, se ha utilizado los siguientes
métodos de investigación:
El método inductivo como estrategia de razonamiento basado en la inducción, parte de
premisas particulares u observaciones específicas para generar conclusiones generale.
Es así que, a partir de casos específicos de desarrollos algebraicos de (a + b + c)n; a, b,
c términos algebraicos, n ≥ 0, n entero; empezando con n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; se
fueron determinando por inducción los coeficientes, términos algébricos y el orden de
disposición o ubicación de cada uno de los componentes que serían los constituyentes
en la estructura del Triángulo de Pascal Modificado. Recordemos que el Triángulo de
Pascal, sólo permite desarrollar binomios elevados a potencias enteras positivas.
Método descriptivo según (Hernández_Sampieri, Fernández, & Baptista, 2014), el
método consiste en describir o detallar fenómenos, situaciones, contextos y sucesos,
en el cómo son y se manifiestan. Es decir, se pretende medir o recoger información de
manera independiente o conjunta de los conceptos o las variables que intervienen y no
cómo se relacionan.
Bajo esta concepción, el método descriptivo permitió describir de la manera matemática
más sencilla posible el proceso de inducción del cómo se obtuvieron los términos y su
disposición u orden en la estructura del Triángulo de Pascal Modificado.
RESULTADOS
Como primera parte de los propósitos de la investigación, se hace una pequeña
mención de algunas conocidas y otras desconocidas propiedades del Triángulo de
Pascal:
PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO DE PASCAL
1. - Términos del Triángulo de Pascal:
Partimos de la estructura de los coeficientes del Triángulo de Pascal Figura 1.
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Figura 1 Triángulo de Pascal
Fuente: (Quintana, 2018)
Sean: a, b ϵ Términos polinomiales Figura 2, quedando entonces la
estructura formular de cada componente del desarrollo de un binomio elevado a
potencias enteras positivas:
Figura 2 Disposición de los términos de un binomio en el Triángulo de Pascal
2. - Relación que tienen valores de los coeficientes componentes del
triángulo de Pascal con los coeficientes binomiales Figura 3:
n= 0 1
n= 1 1 1
n= 2 1 2 1
n= 3 1 3 3 1
n= 4 1 4 6 4 1
n= 5 1 5 10 10 5 1
n= 6 1 6 15 20 15 6 1
n= 7 1 7 21 35 35 21 7 1
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Figura 3 Los coeficientes del Triángulo de Pascal expresados como coeficientes
binomiales.
Fuente: (Bravo, 2021)
Cada valor de los coeficientes componentes del desarrollo del Triángulo de Pascal
tiene su equivalente a manera de coeficiente binomial, así, por ejemplo:
Aplicando la fórmula de los coeficientes binomiales, permite obtener resultados
como el de 2 y 15, y así sucesivamente para cada coeficiente de un desarrollo de
un binomio elevado a potencias enteras positivas.
!
"
#
$
%
&
#'
$'
(
# ) $
*
'
Y mediante el uso de la fórmula del Binomio de Newton, se puede desarrollar
cualquier binomio elevado a una potencia entera positiva:
0
0
1
0
2
1
4
0
3
0
1
1
5
0
6
0
7
0
3
3
2
2
4
4
5
5
6
6
7
7
2
0
3
1
3
2
4
1
4
2
4
3
5
1
5
2
5
3
5
4
6
1
6
3
6
2
6
4
6
5
7
2
7
1
7
3
7
4
7
5
7
6
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3. - La suma de los elementos de cada fila del triángulo de Pascal,
tiene un patrón de secuencia con las potencias de 2 Figura
4:
Figura 4 La suma de los elementos de cada fila expresadas en potencias de 2.
Fuente: (Loco_Math, s.f.)
4. - Todo número de una línea horizontal compuesta por los
coeficientes de algún binomio elevado a una potencia entera
positiva; es igual a la suma de los números de la fila oblicua
anterior al número, incluido el número sobre sí mismo, perteneciente a la
misma diagonal Figura 5.
Por ejemplo: 6 = 1 + 2 + 3 ; 21 = 1 + 5 + 15.
0 1 1 =
2
0
1 1 1 2 =
2
1
2 1 2 1 4 =
2
2
3 1 3 3 1 8 =
2
3
4 1 4 6 4 1 16 =
2
4
5 1 5 10 10 5 1 32 =
2
5
6 1 6 15 20 15 6 1 64 =
2
6
7 1 7 21 35 35 21 7 1 128 =
2
7
Suma de los elementos de cada fila, se la puede obtener con:
2
n
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Figura 5 Propiedad de Hockey
Fuente: (Quintana, 2018)
5. - Se pueden encontrar los números naturales entre sus filas
diagonales Figura 6:
Figura 6 Los números naturales en el Triángulo de Pascal
Fuente: (Loco_Math, s.f.)
6. - La serie de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, …. Figura 7
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
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Figura 7 La serie de Fibonacci
Fuente: (Bravo, 2021)
Y así se podría presentar una gran cantidad de tipos de conjuntos de números que
se obtienen por la divisibilidad entre los coeficientes del Triángulo de Pascal.
PROCEDIMIENTOS PARA LA TRANSFORMACIÓN DEL TRIÁNGULO
DE PASCAL CLÁSICO, EN EL TRIÁNGULO DE PASCAL
MODIFICADO QUE SE UTILIZARÁ EN EL DESARROLLO DE
TRINOMIOS ELEVADOS A POTENCIAS ENTERAS POSITIVAS.
Partiendo de la suposición de que la sociedad estudiantil, docentes de matemáticas
y otros grupos académicos conocen el procedimiento de construcción del
Triángulo de Pascal y su aplicación para obtener los coeficientes de los términos
que son utilizados en los desarrollos para elevar binomios a cualquier potencia
entera positiva, empezamos a diseñar el Triángulo de Pascal Modificado.
1.- A partir del Triángulo de Pascal ( Figura 8) clásico y las indicaciones de
(Leguizamón, s.f.), construiremos las bases para obtener las
estructuras de los coeficientes y los términos componentes del
desarrollo de trinomios elevados a potencias enteras positivas:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
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Figura 8 El Triángulo de Pascal
Fuente: (Quintana, 2018)
2.- Giramos el Triángulo de Pascal ( Figura 8) en sentido antihorario y
recorriendo hacia la izquierda los coeficientes, hasta que queden las
diagonales de los coeficientes como se muestra en la Figura 9
en un sentido vertical. Antes de realizar lo indicado,
anteponemos una columna de cantidades uno (1) como se muestra en la
misma figura.
Figura 9 Triángulo de Pascal dispuesto en sentido vertical
3.- A partir de disposición rectangular Figura 9, movemos o recorremos los
valores cada fila como se muestra a continuación, formando paquetes o
grupos (Figura 10).
4.- Por cada fila de valor n, se debe tener una disposición grupal de manera
escalonada como se muestra en la Figura 10 y que se hará casi en todos
los casos referencia a esta figura, en la que cada grupo tendrá la misma
n= 0 1
n= 1 1 1
n= 2 1 2 1
n= 3 1 3 3 1
n= 4 1 4 6 4 1
n= 5 1 5 10 10 5 1
n= 6 6 15 20 15 6
n= 7 1 7 21 35 35 21 7 1
n= 0
1
n= 1
1 1 1
n= 2
1 1 2 1
n= 3
1 1 3 3 1
n= 4
1 1 4 6 4 1
n= 5
1 1 5 10 10 5 1
n= 6
1 1 6 15 20 15 6 1
n= 7
1 1 7 21 35 35 21 7 1
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cantidad de elementos correspondientes a los coeficientes del
Triángulo de Pascal clásico según sea el valor de n, Tabla 1.
Tabla 1 Grupos y sus coeficientes contenidos.
Valor de n:
Grupo N°.:
Coeficientes
0
0
1
1
1
1 1
2
2
1 2 1
3
3
1 3 3 1
Y así sucesivamente. Hay que señalar que cada grupo n, va saltando los espacios
correspondientes a cada uno de los grupos formados según los n anteriores; de manera
escalonada.
Figura 10 Disposición del Triángulo de Pascal Modificado, formando grupos
Fuente: (Leguizamón, s.f.)
El siguiente paso es ir completando con los coeficientes faltantes ( Tabla 2)
de los términos de los desarrollos de los trinomios elevados a potencias
enteras positivas; en los saltos o espacios en cada fila, dejados por la
ubicación escalonada de los grupos mencionados, en la Figura 10.
Grupo 0
n=
0 1
Grupo 1
n=
1 1 1 1
Grupo 2
n=
2 1 1 2 1
Grupo 3
n=
3 1 1 3 3 1
Grupo 4
n=
4 1 1 4 6 4 1
Grupo 5
n=
5 1 1 5 10 10 5 1
Grupo 6
n=
6 1 1 6 15 20 15 6 1
Grupo 7
n=
7 1 1 7 21 35 35 21 7 1
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Tabla 2 Coeficientes faltantes en los grupos, de acuerdo a la n - fila
n
Grup
o
0
Grup
o
1
Grup
o
2
Grup
o
3
Grupo
4
Coeficientes
0
1
1
1
1 1
2
1
COEF
ICIEN
TES?
1 2
1
3
1
COEF
ICIEN
TES ?
COEF
ICIEN
TES ?
1 3
3 1
4
1
COEF
ICIEN
TES ?
COEF
ICIEN
TES ?
COEF
ICIEN
TES ?
1 4 6
4 1
Procedimiento para la determinación de los coeficientes faltantes de cada uno de
los grupos, según el valor de fila n en el Triángulo de Pascal Modificado.
Para poder realizar la inducción con el objetivo de obtener los valores de los
coeficientes de los términos de los desarrollos de trinomios
elevados a potencias enteras positivas, se aplicó el Triángulo de
Pascal clásico en varios ejemplos, a tres variables representadas por a,
b, c; a las que se les agrupó como ((a + b) +c) y se les elevó a las
potencias enteras positivas.
Luego aplicando el Triángulo de Pascal a los binomios elevados a las
correspondientes potencias de los desarrollos y finalmente se realizó operaciones
aritméticas, algebraicas para totalizarlos y reordenando los términos
correspondientes, según se interpreta en (Leguizamón, s.f.), Tabla 3 .
Se muestra también en las Tabla 10, Tabla 11 y Tabla 12 el Triángulo de Pascal
Modificado, los coeficientes y las variables elevadas a las potencias enteras
respectivas n.
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Como se puede observar, las variables de los términos se van desarrollando de
manera similar como cuando se aplica el Triángulo de Pascal en su manera usual,
en un binomio elevado a cualquier potencia entera positiva.
Tabla 3 Triángulo de Pascal Modificado: Coeficientes de los desarrollos de los trinomios
elevados a potencias enteras positivas, según el valor de n, en cada fila.
Entonces en cada fila, para todo n ≥ 0:
Para n ≥ 0: Todas las filas de la columna del grupo 0, estará formado
por un único coeficiente, la cantidad 1.
Para cada caso de fila n ≥ 1: Todas las filas de la columna del grupo 1 (Tabla 4), estará
formado por dos coeficientes iguales en cantidad según sea el valor
de n.
Tabla 4 Coeficientes del grupo 1 según el valor de n.
n =
Grupo
1:
1
1 1
2
2 2
3
3 3
0
n=
0 1
n=
1 1 1 1
n=
2 1 2 2 1 2 1
n=
3 1 3 3 3 6 3 1 3 3 1
n=
4 1 4 4 6 12 6 4 12 12 4 1 4 6 4 1
n=
5 1 5 5 10 20 10 10 30 30 10 5 20 30 20 5 1 5 10 10 5 1
n=
6 1 6 6 15 30 15 6 18 18 6 30 120 180 120 30 6 30 60 60 30 6 1 6 15 20 15 6 1
n=
7 1 7 7 21 42 21 14 42 42 14 7 28 42 28 7 42 210 420 420 210 42 7 42 105 140 105 42 7 1 7 21 35 35 21 7 1
n=
8 1 8 8 28 56 28 8 24 24 8 40 160 240 160 40 8 40 80 80 40 8 56 336 840 1120 840 336 56 8 56 168 280 280 168 56 8
1
2
3
4
5
6
7
GRUPOS:
129
129
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A los coeficientes de los grupos escalonados a partir del grupo 2 (Tabla 3), de
acuerdo a como se muestra en la Figura 10, los vamos a considerar como
coeficientes pívot o fijos de cada grupo, con los cuales de acuerdo a cada valor de
n se realizarán operaciones aritméticas, para ir obteniendo los coeficientes
faltantes de cada fila según el valor de n, en el grupo respectivo.
Para la determinación de los coeficientes de los grupos 2 y 3 se aplican
procedimientos diferentes y para los grupos de 4 en adelante se va
a indicar otro procedimiento estándar:
7.2.1.- Procedimientos para los grupos 2 y 3:
El procedimiento a aplicar será para el cálculo de los coeficientes a partir de la fila
siguiente o de la fila debajo de los coeficientes pívot.
7.2.1.1.- Procedimiento para el cálculo de los coeficientes del grupo 2:
Entonces para el cálculo de los coeficientes del grupo 2 ( Tabla 5),
consideramos el caso de la fila n = 3. Multiplicamos el número 3 de la fila n =
3, por cada uno de los coeficientes pívot del grupo 2 de la fila n = 2: 1 2 1,
obteniendo: 1*3 2*3 1*3 = 3 6 3 y los coeficientes de los n sucesivos,
se los obtiene multiplicando el resultado de la siguiente relación por cada
elemento de la fila pívot del grupo respectivo, en este caso del grupo 2.
Para los coeficientes de la fila n = 4; multiplicamos el (n-1) del caso anterior (es
decir: n – 1 = 3) por el n a continuación (es decir: n = 4) y al resultado de ese
producto lo dividimos para 2.
Tabla 5 Procedimiento para la obtención de los coeficientes del grupo 2, para n≥3.
n -
1
n
(n-1) *n /
2
Observación
Coeficie
n-tes de
la fila n,
del
grupo 2
3
4
3*4/2 = 6
Este valor de 6
multiplicamos
por cada
6 12
6
130
130
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elemento de la
fila pívot del
grupo 2.
4
5
4*5/2 = 10
Este valor de
10
multiplicamos
por cada
elemento de la
fila pívot del
grupo 2.
10 20
10
5
6
5*6/2 = 15
Este valor de
15
multiplicamos
por cada
elemento de la
fila pívot del
grupo 2.
15 30
15
Procedimiento para el cálculo de los coeficientes del grupo 3:
Para este procedimiento hay que considerar cuando n es par o impar, según esto
se debe aplicar:
1.- Para una fila n par Tabla 6:
Tomamos el valor de n par y multiplicamos el valor de n para cada
coeficiente pívot de la fila n = 3.
Tabla 6 Cálculo de los coeficientes de grupo 3, cuando n es par.
n par
Coeficientes pívot fila
n = 3: 1 3 3
1
4
4 12 12 4
6
6 18 18 6
8
8 24 24 8
131
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Y así sucesivamente, para todo n par.
2.- Para una fila n impar Tabla 7 Tabla 6:
Tomamos el valor de n impar y multiplicamos el valor de n impar por 2;
luego este resultado multiplicamos para cada coeficiente pívot
de la fila n = 3.
Tabla 7 Cálculo de los coeficientes de grupo 3, cuando n es impar.
n impar
n * 2
Coeficientes pívot fila
n = 3: 1 3 3
1
5
10
10 30 30 10
7
14
14 42 42 14
9
18
18 54 54 18
Procedimientos para los grupos ≥ 4:
Para cualquiera de las filas a continuación o debajo de las filas pívot Tabla 3,
se aplican los siguientes procedimientos:
a.- En cada grupo; para todo valor de fila (n + 1) inmediatamente
posterior o siguiente de la fila que contiene a los coeficientes pívot
Tabla 8, se toma este valor de (n + 1) y se multiplica por cada
coeficiente pívot del grupo correspondiente, para obtener los
coeficientes de cada uno de los grupos de manera escalonada.
Este mismo procedimiento, después de realizado lo indicado en el caso
anterior se aplica saltando un valor de fila n.
Tabla 8 Para todo valor de fila (n + 1) inmediatamente posterior o siguiente
de la fila que contiene a los coeficientes pívot
n
Grupo
N°.
Coeficientes pívot fila
n = 4: 1 4 6
4 1
5
4
5 20 30 20 5
132
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7
4
7 28 42 28 7
9
4
9 36 54 36 9
n
Grupo
N°.
Coeficientes pívot fila
n = 5: 1
5 10 10 5 1
6
5
6 30 60 60 30
6
8
5
8 40 80 80 40
8
10
5
10 50 100 100 50
10
b.- Y para el cálculo de los coeficientes de las filas n intermedias de los
grupos Tabla 9, que salen de las indicaciones anteriores; se
obtienen de la siguiente manera:
Se multiplica el valor de la n fila por el (número de grupo + 1) y este
resultado por cada coeficiente pívot del grupo correspondiente; así
por ejemplo para calcular los coeficientes de n = 6 del grupo 4, se
lo realiza de la siguiente manera:
Tabla 9 Cálculo de los coeficientes de las filas n intermedias de los grupos.
n
Grupo
N°.
n*(Grupo N°.
+ 1)
Coeficientes pívot del grupo 4:
1 4 6 4 1
6
4
6*(4+1) = 30
30 120 180 120 30
8
4
8*(4+1) = 40
40 160 240 160 40
n
Grupo
N°.
n*(Grupo N°.
+ 1)
Coeficientes pívot del grupo 5:
1 5 10 10 5 1
7
5
7*(5+1) = 42
42 210 420 420 210 42
9
5
9*(5+1) = 54
54 270 540 540 270 54
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Procedimiento para la determinación de los factores definidos por las variables en el
desarrollo (a + b + c)
n
y que deben ir adjuntos a cada uno de los coeficientes del
Triángulo de Pascal Modificado (Tabla 10, Tabla 11, y Tabla 12);
correspondientes a los desarrollos de cada fila con n≥0 para cada grupo;
siendo n el valor que define el exponente el cual irá elevado el trinomio.
Tabla 10 Triángulo de Pascal Modificado: Coeficientes y variables con sus respectivas
potencias enteras.
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Tabla 11 Vista 1 del Triángulo de Pascal Modificado.
Tabla 12 Vista 2 del Triángulo de Pascal Modificado.
Cada fila de cada grupo; tendrán las siguientes estructuras formulares para cada variable
que debe conformar un término del desarrollo del trinomio (a + b + c)
n
con n ≥ 0;
para la generación de las variables parte de los términos de los grupos y en especial el
último grupo que dependerá estrictamente de los dos últimos términos del trinomio:
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Para la generación de los grupos, dependiendo de n ≥0:
Grupo 0: a
n
Grupo 1: a
n-1
b a
n-1
c
Grupo 2: a
n-2
b
2
a
n-2
bc a
n-2
c
2
Grupo 3: a
n-3
b
3
a
n-3
b
2
c a
n-3
bc
2
a
n-3
c
3
Grupo 4: a
n-4
b
4
a
n-4
b
3
c a
n-4
b
2
c
2
a
n-4
bc
3
a
n-4
c
4
.
.
.
Para la generación del grupo n:
Grupo n: b
n
b
n-1
c b
n-2
c
2
… b
n-n
c
n-1
c
n
Como se indica, se generarán n grupos dependiendo del valor de n; como una primera
parte se tendrán grupos hasta (n-1) cuyos términos enésimos componentes de estos
grupos serán una combinación de los tres términos del trinomio, hasta que el primer
término del trinomio se convierta en uno, porque el exponente de este término del
trinomio deberá llegar hasta ser n – n, haciendo que el término elevado a la cero sea
1 por definición.
Y en una segunda parte o última, aparecerá un grupo n, en el cual sólo tendrá entre
sus términos de su desarrollo una combinación de los dos últimos términos del
trinomio, según la disposición original de los términos del trinomio.
Procedimiento práctico de aplicación:
Para cualquier n entero positivo, siempre se debe empezar desde el Grupo 0,
entonces los desarrollos de los trinomios elevados a cualquier potencia se
empezarán de la siguiente manera (Tabla 10):
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Sea la fila n=1: (a + b + c)
1
G 0 G 1
1*a 1*b 1*c
(a + b + c)
1
= 1*a + 1*b + 1*c = a + b + c
Sea la fila n=2: (a + b + c)
2
G 0 G 1 G 2
1*a
2
2*ab 2*ac 1*b
2
2*bc 1*c
2
(a + b + c)
2
= 1*a
2
+ 2*ab + 2*ac + 1*b
2
+ 2*bc + 1*c
2
= a
2
+ 2ab + 2ac +
b
2
+ 2bc +
c
2
Sea la fila n=3: (a + b + c)
3
G 0 G 1 G 2 G 3
1*a
3
3*a
2
b 3*a
2
c 3*ab
2
6*abc 3*b
2
c 1*b
3
3*b
2
c 3*bc
2
1*c
3
(a + b + c)
2
= 1*a
3
+ 3*a
2
b + 3*a
2
c + 3*ab
2
+ 6*abc + 3*b
2
c + 1*b
3
+ 3*b
2
c
+ 3*bc
2
+ 1*c
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3a
2
c + 3ab
2
+ 6abc + 3b
2
c + b
3
+ 3b
2
c
+ 3bc
2
+ c
3
Nota: Los signos aritméticos de cada término del desarrollo de los trinomios
elevados a cualquier potencia entera, dependerán de los signos correspondientes
de cada término del trinomio y de sus exponentes si son enteros pares o impares.
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Como aplicación o uso de la técnica del Triángulo de Pascal Modificado, se pueden
utilizar los resultados obtenidos, y que se encuentran representados en la Tabla
13 siguiente:
Tabla 13. Resumen de resultados de trinomios elevados a potencias enteras positivas.
DISCUSIÓN
Su importancia parte desde el desarrollo básico de factorización de expresiones
matemáticas que nos enseñaron en los niveles medios de educación secundaria;
uno de los mecanismos para factorizar era Triángulo de Pascal que permite
resolver binomios elevados a cualquier potencia entera positiva. En el transcurrir
del tiempo, técnicas como el Triángulo de Pascal y con sus propiedades, logran dar
un avance en la programación, la optimización de procesos industriales y
económicos, al constituirse en modelos matemáticos que sirven para simular y
estudiar las causas y efectos que se producen en casi todos los campos del saber
humano.
Por ejemplo, la disposición de los números o coeficientes, se forman ciertos tipos
de figuras llamados fractales, estas disposiciones se encuentran en la naturaleza en
sus distintas formas; es decir estructuras matemáticas que reflejan y explican el
comportamiento natural de nuestro entorno.
Para el caso de la propuesta para resolver trinomios elevados a potencias enteras
positivas mediante el uso del Triángulo de Pascal Modificado, considero que podría
tener similar importancia y aplicación en los distintos campos del saber
(a + b + c)
0
=
1
(a + b + c)
1
=
1*a+1*b+1*c
(a + b + c)
2
=
(a + b + c)
3
=
(a + b + c)
4
=
(a + b + c)
5
=
(a + b + c)
6
=
(a + b + c)
7
=
1*a
5
+5*a
4
b+5*a
4
c+10*a
3
b
2
+20*a
3
bc+10*a
3
c
2
+10*a
2
b
3
+30*a
2
b
2
c+30*a
2
bc
2
+10*a
2
c
3
+5*ab
4
+20*ab
3
c
+30*ab
2
c
2
+20*abc
3
+5*ac
4
+1*b
5
+5*b
4
c+10*b
3
c
2
+10*b
2
c
3
+5*bc
4
+1*c
5
1*a
6
+6*a
5
b+6*a
5
c+15*a
4
b
2
+30*a
4
bc+15*a
4
c
2
+6*a
3
b
3
+18*a
3
b
2
c+18*a
3
bc
2
+6*a
3
c
3
+30*a
2
b
4
+120*a
2
b
3
c
+180*a
2
b
2
c
2
+120*a
2
bc
3
+30*a
2
c
4
+6*ab
5
+30*ab
4
c+60*ab
3
c
2
+60*ab
2
c
3
+30*abc
4
+6*ac
5
+1*b
6
+6*b
5
c+15*
b
4
c
2
+20*b
3
c
3
+15*b
2
c
4
+6*bc
5
+1*c
6
1*a
7
+7*a
6
b+7*a
6
c+21*a
5
b
2
+42*a
5
bc+21*a
5
c
2
+14*a
4
b
3
+42*a
4
b
2
c+42*a
4
bc
2
+14*a
4
c
3
+7*a
3
b
4
+28*a
3
b
3
c
+42*a
3
b
2
c
2
+28*a
3
bc
3
+7*a
3
c
4
+42*a
2
b
5
+210*a
2
b
4
c+420*a
2
b
3
c
2
+420*a
2
b
2
c
3
+210*a
2
bc
4
+42*a
2
c
5
+7*ab
6
+42*ab
5
c+105*ab
4
c
2
+140*ab
3
c
3
+105*ab
2
c
4
+42*abc
5
+7*ac
6
+1*b
7
+7*b
6
c+21*b
5
c
2
+35*b
4
c
3
+35*b
3
c
4
+21*b
2
c
5
+7*bc
6
+1*c
7
1*a
4
+4*a
3
b+4*a
3
c+6*a
2
b
2
+12*a
2
bc+6*a
2
c
2
+4*ab
3
+12*ab
2
c+12*abc
2
+4*ac
3
+1*b
4
+4*b
3
c+6*b
2
c
2
+4*bc
3
+1*c
4
1*a
2
+2*ab+2*ac+1*b
2
+2*bc+1*c
2
1*a
3
+3*a
2
b+3*a
2
c+3*ab
2
+6*abc+3*b
2
c+1*b
3
+3*b
2
c+3*bc
2
+1*c
3
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matemático; el mecanismo de inducción y deducción de los coeficientes
componentes de su estructura tienen patrones similares a las propiedades del
Triángulo de Pascal, así también lo indican y demuestran en sus propuestas
(Leguizamón, s.f.) y (Gómez_Sánchez, Gómez_Sánchez, & Recio_Reyes, 2011).
REFERENCIAS
Acta. (s.f.). Pascal Y La Teoría De Números. En F. García, 044043.Pdf (Págs. 43 - 54).
Autores Científico-Técnicos Y Académicos. Obtenido De
Https://Www.Acta.Es/Medios/Articulos/Matematicas/044043.Pdf
Bravo, D. (20 De Marzo De 2021). Youtube. Obtenido De Triángulo De Pascal. 12
Secretos Que Te Dejarán Con La Boca Abierta:
Https://Www.Youtube.Com/Watch?V=Fh0b-3mkfsg
Gómez_Sánchez, D., Gómez_Sánchez, A., & Recio_Reyes, R. (2011). Modelo para
resolver un trinomio elevado a la n. Revista Iberoamericana De Educación
Matemática Union, 21 - 29.
Hernández_Sampieri, R., Fernández, C., & Baptista, M. D. (2014). Metodología De
La Investigación. México D.F.: Mcgraw-Hill / Interamericana Editores, S.A. De
C.V.
Leguizamón, J. (S.F. De S.F. De S.F.). Curiosidades Matematicas El Triangulo De Pascal
Generalizado. (G. D. Pirámide, Ed.) Recuperado El 7 De Julio De 2021, De El
Triangulo De Pascal Generalizado:
Http://Www.Alammi.Info/2congreso/Memorias/Documentos/Martes/Trian
gulo.Pdf
Loco_Math. (s.f.). Youtube. Obtenido De Triangulo De Pascal - Curiosidades:
Https://Www.Youtube.Com/Watch?V=Tusbdlufpo0
Quintana, M. (11 De Nov. De 2018). Centro De Estudios Matemáticos Mauro
Quintana Ltda. Obtenido De El Triángulo De Pascal: Una de las llaves de la
Matemática: https://www.youtube.com/watch?v=KX0vfHwfxu0